Blogs của Phúc

Nhị thức Newton:  $\displaystyle (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \mathrm {C}_{n}^{k} a^kb^{n-k}$    $(1)$. Chứng minh: Xét trường hợp $\displaystyle b=0$ dễ thấy $(1)$ đúng. Nếu $\displaystyle b\neq 0$, chia 2 vế của $(1)$ cho $\displaystyle b^n$, ta phải chứng minh:  $\displaystyle \left(\frac{a}{b}+1 \right)^n = \sum_{k=0}^{n}\mathrm{C}_{n}^{k}\left ( \frac{a}{b} \right )^k$. Đặt $\displaystyle x=\frac{a}{b}$, ta được:  $\displaystyle \left(x+1\right)^n=\sum_{k=0}^{n}\mathrm{C}_{n}^{k}x^k$    $(2)$. Ta viết: $\displaystyle \left ( x+1 \right )^n=(x+1)(x+1)...(x+1)$ $(\displaystyle n$ thừa số $\displaystyle (x+1))$. Số hạng tử $\displaystyle x^k$ trong khai triển $(2)$ chính là số cách chọn ra $\displaystyle k$ số $\displaystyle x$ từ $\displaystyle n$ thừa số $\displaystyle (x+1)$ ở trên và đem nhân lại với nhau.  Có $\displaystyle \mathrm{C}_{n}^{k}$ cách chọn ra hạng tử $\displaystyle x^k$ ấy, suy ra, có  $\mathrm{C}_{n}^{k}x^k$  tron...

a) Góc $\widehat{ABC}=90^0$ nội tiếp chắn cung AC nên AC là đường kính. b) Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABC vuông tại B, ta có: $$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13.$$ $$\Rightarrow R=\frac{AC}{2}=\frac{13}{2}.$$ Ta có: $\widehat{DAE}=\widehat{DAH}+\widehat{HAE}=2\widehat{BAH}+2\widehat{HAC}=2\widehat{BAC}=180^0$ $\Rightarrow D, A, E$ thẳng hàng. Mà $\left\{\begin{matrix} AD=AH\\ AE=AH \end{matrix}\right.\Rightarrow AD=AE\Rightarrow $ A là trung điểm DE. Do đó, $DE^2=(2AH)^2=4AH^2$                                                                    $(1)$ Mặt khác, $\left\{\begin{matrix} BD=BH\\ CE=CH \end{matrix}\right.\Rightarrow 4.BD.CE=4.BH.CH=4AH^2$                $(2)$ Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $DE^2=4.BD.CE$ (đpcm) $$(d_1): (m+2)x-(2m-1)y+6m...

174) Ta có: $$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=\left [ (x+y+z)^3-x^3 \right ]-(y^3+z^3)$$ $$=(y+z)\left [ (x+y+z)^2+x^2+x(x+y+z) \right ]-(y+z)(y^2+z^2-yz)$$ $$=(y+z)\left [ (3x^2+y^2+z^2+3xy+2yz+3zx)-(y^2+z^2-yz) \right ]$$ $$=3(y+z)(x^2+xy+yz+zx)=3(x+y)(y+z)(z+x)$$ 175) Ta có: $$A=n^4+6n^3+11n^2+6n=n(n+1)(n+2)(n+3)$$ Trong 4 số tự nhiên liên tiếp: $n, n+1,n+2,n+3$ phải có 1 số chia hết cho 3 nên tích của chúng chia hết cho 3 $\Rightarrow A\vdots 3$ (1) Trong 4 số tự nhiên liên tiếp: $n, n+1,n+2,n+3$ phải có 2 số chẵn, trong đó có 1 số chia hết cho 4, số còn lại chia hết cho 2 nên tích của chúng chia hết cho 2.4 = 8 $\Rightarrow A\vdots 8$ (2) Từ (1) và (2) suy ra $\left\{\begin{matrix} A\vdots 3\\ A\vdots 8 \end{matrix}\right.$ mà 3 và 8 nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 3.8 = 24 đpcm.

ĐK: $x\neq \displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{k\pi}{2}, x\neq \displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{k\pi}{3}$ Phương trình tương đương: $$3sin2xcos^23x-4sin3xcos2xcos3x=sin^23xsin2x$$ $$\Leftrightarrow 2cos3x(sin2xcos3x-sin3xcos2x)+sin2x(cos^23x-sin^23x)=2sin3xcos3xcos2x$$ $$\Leftrightarrow 2cos3xsin(-x)+sin2xcos6x=sin6xcos2x$$ $$\Leftrightarrow sin2x-sin4x+sin(-4x)=0$$ $$\Leftrightarrow sin2x(1-4cos2x)=0$$ 1) $sin2x=0\Leftrightarrow x=k\pi$ 2) $cos2x=\displaystyle\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=\pm \displaystyle\frac{1}{2}arccos\displaystyle\frac{1}{4}+k\pi$

Đề bài: Giải phương trình: $tan^2x+cot^2x=1+cos^2 \left( 3x+\displaystyle\frac{\pi}{4} \right)$ ĐKXĐ: $x\neq \displaystyle\frac{k\pi}{2}$ Ta có: $$tan^{2}x+cot^{2}x=\frac{4}{sin^22x}-2$$ và $$cos^2\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1-sin6x}{2}=\frac{1-3sin2x+4sin^32x}{2}$$ Phương trình trở thành: $$\frac{4}{sin^22x}=3+\frac{1-3sin2x+4sin^32x}{2}$$ Đặt $t=sin2x \quad (-1\leqslant t\leqslant 1)$, ta được: $$4t^5-3t^3+7t^2-8=0$$ Phương trình có nghiệm duy nhất   $t=1$. Vậy: $$sin2x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi$$

Cho $x,y,z> 0$  thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng: $$P=\frac{xy}{\sqrt{zx+yz}}+\frac{yz}{\sqrt{xy+zx}}+\frac{zx}{\sqrt{yz+xy}}\leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$$                                                                           Giải Ta có: $P\leqslant \frac{\sqrt2}{2}$ $$\Leftrightarrow xy\sqrt{(xy+xz)(xy+yz)}+yz\sqrt{(yz+xy)(yz+zx)}+zx\sqrt{(zx+xy)(zx+yz)}$$ $$\leq \frac{\sqrt2}{2}\sqrt{(xy+yz)(yz+zx)(zx+xy)}$$ $$\Leftrightarrow xy.\sqrt{x^{2}y^{2}+xyz}+yz.\sqrt{y^{2}z^{2}+xyz}+zx.\sqrt{z^{2}x^{2}+xyz}$$ $$\leqslant \frac{\sqrt2}{2}.\sqrt{xyz}.\sqrt{xy+yz+zx-xyz}$$ $$P^{2}=\frac{x^2y^2}{zx+zy}+\frac{y^2z^2}{xy+xz}+\frac{z^2x^2}{yx+yz}+2(\frac{x^2}{\sqrt{x+yz}}+\frac{y^2}{\sqrt{y+xz}}+\frac{z^2}{\sqrt{z+xy}})$$