Blogs của Phúc

174) Ta có: $$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=\left [ (x+y+z)^3-x^3 \right ]-(y^3+z^3)$$ $$=(y+z)\left [ (x+y+z)^2+x^2+x(x+y+z) \right ]-(y+z)(y^2+z^2-yz)$$ $$=(y+z)\left [ (3x^2+y^2+z^2+3xy+2yz+3zx)-(y^2+z^2-yz) \right ]$$ $$=3(y+z)(x^2+xy+yz+zx)=3(x+y)(y+z)(z+x)$$ 175) Ta có: $$A=n^4+6n^3+11n^2+6n=n(n+1)(n+2)(n+3)$$ Trong 4 số tự nhiên liên tiếp: $n, n+1,n+2,n+3$ phải có 1 số chia hết cho 3 nên tích của chúng chia hết cho 3 $\Rightarrow A\vdots 3$ (1) Trong 4 số tự nhiên liên tiếp: $n, n+1,n+2,n+3$ phải có 2 số chẵn, trong đó có 1 số chia hết cho 4, số còn lại chia hết cho 2 nên tích của chúng chia hết cho 2.4 = 8 $\Rightarrow A\vdots 8$ (2) Từ (1) và (2) suy ra $\left\{\begin{matrix} A\vdots 3\\ A\vdots 8 \end{matrix}\right.$ mà 3 và 8 nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 3.8 = 24 đpcm.

ĐK: $x\neq \displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{k\pi}{2}, x\neq \displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{k\pi}{3}$ Phương trình tương đương: $$3sin2xcos^23x-4sin3xcos2xcos3x=sin^23xsin2x$$ $$\Leftrightarrow 2cos3x(sin2xcos3x-sin3xcos2x)+sin2x(cos^23x-sin^23x)=2sin3xcos3xcos2x$$ $$\Leftrightarrow 2cos3xsin(-x)+sin2xcos6x=sin6xcos2x$$ $$\Leftrightarrow sin2x-sin4x+sin(-4x)=0$$ $$\Leftrightarrow sin2x(1-4cos2x)=0$$ 1) $sin2x=0\Leftrightarrow x=k\pi$ 2) $cos2x=\displaystyle\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=\pm \displaystyle\frac{1}{2}arccos\displaystyle\frac{1}{4}+k\pi$

Đề bài: Giải phương trình: $tan^2x+cot^2x=1+cos^2 \left( 3x+\displaystyle\frac{\pi}{4} \right)$ ĐKXĐ: $x\neq \displaystyle\frac{k\pi}{2}$ Ta có: $$tan^{2}x+cot^{2}x=\frac{4}{sin^22x}-2$$ và $$cos^2\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1-sin6x}{2}=\frac{1-3sin2x+4sin^32x}{2}$$ Phương trình trở thành: $$\frac{4}{sin^22x}=3+\frac{1-3sin2x+4sin^32x}{2}$$ Đặt $t=sin2x \quad (-1\leqslant t\leqslant 1)$, ta được: $$4t^5-3t^3+7t^2-8=0$$ Phương trình có nghiệm duy nhất   $t=1$. Vậy: $$sin2x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi$$